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2021年成人高考高起点文数考试章节难点解析(2)

2021-02-19 来源: 深圳自学考试网

  难点6 函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年高考考察的要点内容之一.本节首要协助考生灵敏把握求值域的各种办法,并会用函数的值域处理实践使用问题.

●难点磁场

(★★★★★)设m是实数,记M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ).

(1)证明:当m∈M时,f(x)对一切实数都有含义;反之,若f(x)对一切实数x都有含义,则m∈M.

(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值.

(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.

●事例探求

[例1]规划一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白,左右各留5 cm空白,怎样确认画面的高与宽尺度,才能使宣传画所用纸张面积最小?假如要求λ∈[ ],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?

出标题的:本题首要考察树立函数关系式和求函数最小值问题,一起考察运用所学常识处理实践问题的才能,属★★★★★级标题.

常识依托:首要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础常识.

错解剖析:证明S(λ)在区间[ ]上的单调性简单犯错,其次不易把使用问题转化为函数的最值问题来处理.

技巧与办法:本题归于使用问题,关键是树立数学模型,并把问题转化为函数的最值问题来处理.

解:设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x= 代入上式得:S=5000+44 (8 + ),当8 = ,即λ= <1)时S获得最小值.此刻高:x= =88 cm,宽:λx= ×88=55 cm.

假如λ∈[ ]可设 ≤λ1<λ2≤ ,则由S的表达式得:

又 ≥ ,故8- >0,

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[ ]内单调递加.

然后关于λ∈[ ],当λ= 时,S(λ)获得最小值.

答:画面高为88 cm,宽为55 cm时,所用纸张面积最小.假如要求λ∈[ ],当λ= 时,所用纸张面积最小.

[例2]已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)当a= 时,求函数f(x)的最小值.

(2)若对恣意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒建立,试求实数a的取值规模.

出标题的:本题首要考察函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的归纳剖析才能以及运算才能,属★★★★级标题.

常识依托:本题首要经过求f(x)的最值问题来求a的取值规模,表现了转化的思维与分类评论的思维.

错解剖析:考生不易考虑把求a的取值规模的问题转化为函数的最值问题来处理.

技巧与办法:解法一运用转化思维把f(x)>0转化为关于x的二次不等式;解法二运用分类评论思维解得.

(1)解:当a= 时,f(x)=x+ +2

∵f(x)在区间[1,+∞ 上为增函数,

∴f(x)在区间[1,+∞ 上的最小值为f(1)= .

(2)解法一:在区间[1,+∞ 上,f(x)= >0恒建立 x2+2x+a>0恒建立.

设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递加,

∴当x=1时,ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒建立,故a>-3.

解法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ 当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;

当a<0时,函数f(x)递加,故当x=1时,f(x)min=3+a,

当且仅当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒建立,故a>-3.

●神机妙算

本难点所触及的问题及处理的办法首要有:

(1)求函数的值域

此类问题首要使用求函数值域的常用办法:配办法、别离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.不管用什么办法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域.

(2)函数的归纳性标题

此类问题首要考察函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本常识相结合的标题.

此类问题要求考生具有较高的数学思维才能和归纳剖析才能以及较强的运算才能.在往后的出题趋势中归纳性题型仍会成为热门和要点,并可以逐步加强.

(3)运用函数的值域处理实践问题

此类问题关键是把实践问题转化为函数问题,然后使用所学常识去处理.此类题要求考生具有较强的剖析才能和数学建模才能.

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